«Функция: понятие, способы задания, основные характеристики. Обратная функция. Суперпозиция функций»
|
|
 Скачать 68.32 Kb.
|
|
Тема: «Функция: понятие, способы задания, основные характеристики. Обратная функция. Суперпозиция функций». Эпиграф урока: «Изучать что-либо и не задумываться над выученным - абсолютно бесполезно. Задумываться над чем-либо, не изучив предварительно предмет раздумий- опасно.» Конфуций. Цель и психолого-педагогические задачи урока:
Тип урока: изучение нового материала; по критерию ведущего математического содержания - урок-практикум; по критерию типа информационного взаимодействия учащихся и преподавателя – урок сотрудничества. Оборудование урока:
1) Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 3. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1989. – 352 с. : ил. 2) Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – 9-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.
Ход урока. 1.Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства долга, ответственности, познавательного интереса студентов при подготовке к сессии. 2.Повторение материала по вопросам. a) Дать определение функции. Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств. Пусть даны два непустых множества  и  . Соответствие f, которое каждому элементу  сопоставляет один и только один элемент  , называется функцией и записывается y = f(x). Говорят еще, что функция f отображает множество на множество . рис.1Например, соответствия f и g, изображенные на рис.1 а и б, являются функциями, а на рис.1 в и г – нет. В случае в – не каждому элементу соответствует элемент . В случае г не соблюдается условие однозначности.Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f) . Множество всех называется множеством значений функции f и обозначается E(f).б) Числовые функции. График функции. Способы задания функций. Пусть задана функция  .Если элементами множеств и являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией. Переменная x при этом называется аргументом или независимой переменной, а y – функцией или зависимой переменной (от x). Относительно самих величин x и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy , для каждой из которых x является значением аргумента, а y – соответствующим значением функции. Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x , находить соответствующее значение y. Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический. Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений. Например:  Если область определения функции y = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f(x). Графический способ: задается график функции. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность. Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы. в) Основные характеристики функции. 1. Функция y = f(x),определенная на множестве D, называется четной, если  выполняются условия  и f(-x) = f(x); нечетной, если выполняются условия и f(-x) = -f(x).График четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной – относительно начала координат. Например,  – четные функции; а y = sinx,  – нечетные; y = x-1,  – функции общего вида, т.е. не четные и не нечетные.2.Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть  . Если для любых значений  аргументов из неравенства  вытекает неравенство:  , то функция называется возрастающей на множестве  ; если  , то функция называется неубывающей на ;  то функция наз. убывающей на ;  - невозрастающей.Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.3. Функция y = f(x), определенная на множестве D, называется периодической с периодом T>0, если при каждом x  D значение (x+T)D и выполняется равенство f(x+T) = f(x).Для построения графика периодической функции периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и периодически продолжить его во всю область определения. Отметим основные свойства периодической функции. 1) Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T, есть периодическая функция с периодом T. 2) Если функция f(x) имеет период T, то функция f(ax) имеет период T/a. г) Обратная функция. Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому значению  соответствует единственное значение  , то определена функция x = z(y) с областью определения E и множеством значений D. Такая функция z(y) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде:  . Про функции y = f(x) и x = z(y) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию x = z(y), обратную к функции y = f(x), достаточно решить уравнение f(x) = y относительно x.Примеры:
Из определения обратной функции вытекает, что функция y = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Сложная функция. Пусть функция y = f(u) определена на множестве D, а функция u = z(x) на множестве , причем для  соответствующее значение  . Тогда на множестве определена функция u = f(z(x)), которая называется сложной функцией от x (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).Переменную u = z(x) называют промежуточным аргументом сложной функции. Например, функция y = sin2x есть суперпозиция двух функций y = sinu и u = 2x. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов. 4. Решение нескольких примеров у доски. 5. Заключение урока. 1) теоретико-прикладные итоги практического занятия; дифференцированная оценка уровня ментального опыта учащихся; уровня усвоения ими темы, компетентности, качества устной и письменной математической речи; уровня проявленного творчества; уровня самостоятельности и рефлексии; уровня инициативы, познавательного интереса к отдельным методам математического мышления; уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким показателям учебно-математической деятельности и др.; 2) объявление аргументированных отметок, поурочного балла. Спасибо за урок! |
обратной функцией является функция 
.