Многогранники. Пирамида
|
|
 Скачать 65.21 Kb.
|
|
Многогранники. Пирамида Рассмотрим многоугольник А1А2...Аn, который лежит в плоскости α, и точку P, которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А1, А2, А3, … Аn. Получим n треугольников: А1А2Р, А2А3Р и так далее. Определение. Многогранник РА1А2…Аn, составленный из n-угольника А1А2...Аn и n треугольников РА1А2, РА2А3 …РАnАn-1, называется n-угольной пирамидой. Рис. 1.   Рис. 1 Пример пирамиды Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2). Р – вершина пирамиды. ABCD – основание пирамиды. РА – боковое ребро. АВ – ребро основания. Рис. 2 Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD. Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды. Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания: Sполн = Sбок + Sосн Определение. Пирамида называется правильной, если:
Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3). Р – вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD – правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О, точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО – это высота пирамиды.  Рис. 3 Пояснение: в правильном n-угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр. Определение. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается hа. Свойства правильной пирамиды 1. все боковые ребра правильной пирамиды равны; 2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:  Задача 1 Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.  Дано: правильная четырехугольная пирамида АВСD, АВСD – квадрат, r = 3 м, РО – высота пирамиды, РО = 4 м. Найти: Sбок . См. Рис. 6. Рис. 6 Решение. По доказанной теореме,  .Найдем сначала сторону основания АВ. Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м. Тогда,  м.Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:  Рассмотрим треугольник BCD. Пусть М – середина стороны DC. Так как О – середина BD, то  (м).Треугольник DPC – равнобедренный. М – середина DC. То есть, РМ – медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC. Тогда РМ – апофема пирамиды. РО – высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ОМ, лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ.  (м).Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:  Ответ: 60 м2. Задача 2 Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен  м. Площадь боковой поверхности равна 18 м2. Найдите длину апофемы.Дано: АВСP – правильная треугольная пирамиды,  АВ = ВС = СА, R = м,Sбок = 18 м2. Найти:  . См. Рис. 7.Рис. 7 Решение. В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.    м.Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр. м.По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где hа – апофема пирамиды. Тогда: Ответ: 4 м. Усеченная правильная пирамида Любая усеченная пирамида является многогранником, образованным пирамидой и её сечением, параллельным основанию. Теорема о боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. Площадь одной боковой грани усеченной пирамиды есть площадь трапеции (рис. 5)   Рис. 5 А площадь всей боковой поверхности  Задания
|
