Понятие многогранника. Призма. Определение. Прямая призма

Скачать 54.75 Kb.

Название	Понятие многогранника. Призма. Определение. Прямая призма
Дата	05.04.2016
Размер	54.75 Kb.
Тип	Задача

Понятие многогранника. Призма.

Определение. Прямая призма - это такая призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Рассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 1). Ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания (АВС). Значит, призма – прямая. Значит, все боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания и каждая боковая грань – это прямоугольник.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/111606/2da96b00_917c_0131_ad42_12313c0dade2.jpg

Рис. 1

Определение. Правильной называется такая прямая призма, в основании которой лежит правильный n-угольник. Тогда, мы имеем правильную n-угольную призму.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/111607/2f777870_917c_0131_ad43_12313c0dade2.jpg

Рис. 2

1) Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

S_полн = S_бок + 2S_осн

2) Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

S_бок = Р_осн ∙ h

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Задача 1

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21см и 9 см и высотой 8 см (рис. 3). Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 10 см.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/111609/319d00e0_917c_0131_ad45_12313c0dade2.jpg

Дано: AD ∥ BC, AB = CD,

AD = 21см, BC = 9см, BH = 8 см,

АА₁ ⊥ АВС, АА₁ = 10 см. (рис. 4)

Найти: S_бок

Рис. 4

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 5). ВН и CG – высоты трапеции. AD = 21см, BC = 9см. Так как трапеция ABСDравнобокая, то HG = BC = 9 см,

(см).

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/111611/33ca1400_917c_0131_ad47_12313c0dade2.jpg

Рис. 5

Рассмотрим треугольник ∆АВН и найдем сторону АВ по теореме Пифагора:

Найдем периметр основания.

Применяем формулу для площади боковой поверхности:

Ответ: 500 см²

Задача2

Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите:

а) диагональ призмы;

б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани;

в) площадь боковой поверхности призмы.
Дано: ABCD – квадрат,

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/111624/4298dc10_917c_0131_ad54_12313c0dade2.jpg

АВ = а, АА₁⊥ АВС.

∠(АС₁, АВС) = 45°.

Найти:

а) АС₁;

б) ∠(АС₁, АDD₁);

в) S_бок
Рис. 10

Решение:

а) ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная четырехугольная призма. Это означает, что в её основании лежит квадрат АВСD.

Сторона квадрата АВСD по условию равна а, тогда диагональ АС = а√2.

Угол между диагональю АС₁ и плоскостью основания ABC равен 45°. Угол между диагональю АС₁ и плоскостью основания ABC – это угол между прямой АС₁ и её проекцией на плоскость ABC, то есть угол С₁АС, значит, ∠С₁АС = 45°. Так как треугольник С₁АС прямоугольный, то и угол АС₁С равен 45°. Значит, треугольник С₁АС – равнобедренный. Значит, СС₁ = АС = а√2.

Из прямоугольного треугольника АС₁С находим по теореме Пифагора АС₁.

Ответ: 2а.

б) Прямая С₁D₁ перпендикулярна всей плоскости АDD₁. Угол между прямой АС₁ и гранью АDD₁ - это угол между прямой АС₁ и её проекцией АD₁ на плоскость АDD₁. Значит, искомый угол - ∠С₁АD₁.

Прямая С₁D₁ перпендикулярна всей плоскости АDD₁, а значит, и прямой АD₁. Найдем ∠С₁АD₁ из прямоугольного треугольника С₁АD₁.

Значит, ∠С₁АD₁ = 30°.

Ответ: 30°.

в) Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Ответ:

.

Задания

1.	$c:\users\wiirus36\appdata\local\microsoft\windows\inetcache\content.word\снимок.png$
2.	$c:\users\wiirus36\appdata\local\microsoft\windows\inetcache\content.word\снимок1.png$
3.	$c:\users\wiirus36\appdata\local\microsoft\windows\inetcache\content.word\снимок2.png$
4.	$c:\users\wiirus36\appdata\local\microsoft\windows\inetcache\content.word\снимок4.png$
5.	$c:\users\wiirus36\appdata\local\microsoft\windows\inetcache\content.word\снимок3.png$