Главная страница

Многогранники. Пирамида


Скачать 65.21 Kb.
Название Многогранники. Пирамида
Дата 05.04.2016
Размер 65.21 Kb.
Тип Документы

Многогранники. Пирамида

Рассмотрим многоугольник А1А2...Аn, который лежит в плоскости α, и точку P, которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А1, А2, А3, … Аn. Получим n треугольников: А1А2Р, А2А3Р и так далее.

Определение. Многогранник РА1А2…Аn, составленный из n-угольника А1А2...Аn и n треугольников РА1А2, РА2А3 …РАnАn-1, называется n-угольной пирамидой. Рис. 1.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125596/363ef970_a847_0131_670c_12313c0dade2.pnghttp://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125597/37d4a110_a847_0131_670d_12313c0dade2.png

Рис. 1

Пример пирамиды

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р – вершина пирамиды.

ABCD – основание пирамиды.

РА – боковое ребро.

АВ – ребро основания.

Рис. 2
Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD. Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.
Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

Sполн = Sбок + Sосн

Определение. Пирамида называется правильной, если:

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р – вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСDправильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О, точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО – это высота пирамиды.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125598/39235a20_a847_0131_670e_12313c0dade2.png

Рис. 3

Пояснение: в правильном n-угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Определение. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается hа.

Свойства правильной пирамиды

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125600/3be976a0_a847_0131_6710_12313c0dade2.png

Задача 1

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125605/42b5d8d0_a847_0131_6715_12313c0dade2.png

Дано: правильная четырехугольная пирамида АВСD,

АВСD – квадрат,

r = 3 м,

РО – высота пирамиды,

РО = 4 м.

Найти:  Sбок . См. Рис. 6.


Рис. 6
Решение.

По доказанной теореме, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125601/3d47f250_a847_0131_6711_12313c0dade2.png.

Найдем сначала сторону основания АВ. Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда, http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125606/4437abf0_a847_0131_6716_12313c0dade2.png м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125607/458b7fd0_a847_0131_6717_12313c0dade2.png

  Рассмотрим треугольник BCD. Пусть М – середина стороны DC. Так как О – середина BD, то http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125608/46f684e0_a847_0131_6718_12313c0dade2.png (м).

Треугольник DPC – равнобедренный. М – середина DC. То есть, РМ – медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC. Тогда РМ – апофема пирамиды.

РО – высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ОМ, лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125609/48678d20_a847_0131_6719_12313c0dade2.png (м).

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125610/49bd8980_a847_0131_671a_12313c0dade2.png

Ответ: 60 м2.

Задача 2

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125611/4b2f12b0_a847_0131_671b_12313c0dade2.png м. Площадь боковой поверхности равна 18 м2. Найдите длину апофемы.

Дано: АВСP – правильная треугольная пирамиды,http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125613/4e039bf0_a847_0131_671d_12313c0dade2.png

АВ = ВС = СА,

R = http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125611/4b2f12b0_a847_0131_671b_12313c0dade2.png м,

Sбок = 18 м2.

Найти: http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125612/4c815640_a847_0131_671c_12313c0dade2.png. См. Рис. 7.

Рис. 7

Решение.

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125614/4f65c530_a847_0131_671e_12313c0dade2.png

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125615/50b2e370_a847_0131_671f_12313c0dade2.png

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125616/522b8e70_a847_0131_6720_12313c0dade2.png м.

Зная сторону правильного треугольника (http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125616/522b8e70_a847_0131_6720_12313c0dade2.png м), найдем его периметр.

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125617/537f1cc0_a847_0131_6721_12313c0dade2.png м.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125601/3d47f250_a847_0131_6711_12313c0dade2.png, где hа – апофема пирамиды. Тогда:

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/125618/54f76390_a847_0131_6722_12313c0dade2.png

 

Ответ: 4 м.

Усеченная правильная пирамида

Любая усеченная пирамида является многогранником, образованным пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Теорема о боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Площадь одной боковой грани усеченной пирамиды есть площадь трапеции (рис. 5)

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147446/2f74a3e0_e502_0131_f18a_12313c0dade2.png

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147447/30a26f80_e502_0131_f18b_12313c0dade2.png

Рис. 5

А площадь всей боковой поверхности

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/147448/31e74300_e502_0131_f18c_12313c0dade2.png

Задания

1.

c:\users\wiirus36\appdata\local\microsoft\windows\inetcache\content.word\снимок6.png

2.

c:\users\wiirus36\appdata\local\microsoft\windows\inetcache\content.word\снимок7.png

3.

c:\users\wiirus36\appdata\local\microsoft\windows\inetcache\content.word\снимок8.png

4.

c:\users\wiirus36\appdata\local\microsoft\windows\inetcache\content.word\снимок5.png