Перпендикулярность прямых и плоскостей
|
|
 Скачать 89.49 Kb.
|
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей Урок: Простейшие задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью 1. Тема урока Данный урок посвящен теме «Простейшие задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью». Напоминание Рассмотрим плоскость α, параллельные прямые а и  лежат в плоскости α (рис. 1). Точка А лежит вне плоскости α. Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α,  .Н – основание перпендикуляра; АН = ρ(А; α).  Рис. 1 Из точки Н опустим перпендикуляр НМ на прямую . Прямая АН перпендикулярна плоскости α, а значит, и всем прямой , лежащей в ней. Имеем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямымАН и НМ плоскости АНМ, значит, по признаку, прямая перпендикулярна плоскости АНМ.Прямая АМ лежит в плоскости АНМ. Значит, прямая перпендикулярна прямой АМ. Этот факт записан в теореме о трех перпендикулярах.2. Теорема о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Обратная теорема Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. Рассмотрим рисунок 1: АН – перпендикуляр; АМ – наклонная; МН - проекция наклонной АМ на плоскость α; По теореме о трех перпендикулярах и теореме, обратной к ней:  3. Угол между прямой и плоскостью Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Посмотрим на рисунок 1. АН – перпендикуляр, АМ – наклонная, МН - проекция наклонной АМ на плоскость α. Тогда угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией МН, то есть это угол АМН.  .4. Задача 1 Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ∠ОАВ = ∠ВАС = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных, угол между прямой АВ и плоскостью α. Дано: АВ = АС, ∠ОАВ = ∠ВАС = 60°, АО = 1,5 см. Найти: ВС, ∠(АВ, α)  Рис. 2 Решение: Рассмотрим треугольник АВО. Он прямоугольный, так как АО перпендикулярна α. Найдем гипотенузу АВ.  Рассмотрим треугольник АВС. Он равнобедренный, так как АВ = АС. А угол ВАС равен 60°. Значит, треугольник АВС – равносторонний. Получаем, ВС = АВ = 3 см. Угол между прямой АВ и плоскостью α – это угол между прямой АВ и ее проекцией ВО на плоскость α. То есть,  .Ответ: 3 см,  5. Задача 2 Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ = 6 см. Чему равен угол между прямой МС и плоскостью АВС? Дано: АВ = ВС =СА = 6 см; МА = МВ = МС = 4 см. Найти: ρ (М, АВС); ∠ (МС, АВС).  Рис. 3 Решение: Пусть МН – перпендикуляр к плоскости АВС. Найдем месторасположение точки Н. Треугольники МНА, МНВ, МНС равны по гипотенузе и общему катету (МА = МВ = МС, катет МН – общий). Значит, НА = НВ = НС. То есть точка Н равноудалена от вершин треугольника АВС. Значит, Н – центр описанной окружности, а отрезок АН равен радиусу описанной окружности. Найдем радиус описанной окружности из теоремы синусов.  Значит, НА = НВ = НС  см.Длина перпендикуляра МН и есть расстояние от точки М до плоскости АВС. Рассмотрим прямоугольный треугольник МНС. Найдем МН по теореме Пифагора.  Угол между прямой МС и плоскостью АВС – это угол между прямой МС и ее проекцией НС, то есть угол МСН. Найдем его из треугольника МНС.  Так как угол МНС – острый, то  Ответ: 2 см,  .6. Задача 3 (свойство) Прямая р проведенная из центра О описанной около треугольника АВС окружности, есть геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от вершин треугольника. Дано:    Доказать: МА = МВ = МС.  Рис. 4 Доказательство. Пусть МО – перпендикуляр к плоскости АВС (рис. 4). Прямоугольные треугольники МОА, МОВ, МОС равны по двум катетам (ОА = ОВ = ОС, катет МО – общий). Значит, МА = МВ = МС. То есть точка Мравноудалена от вершин треугольника АВС, что и требовалось доказать. Теперь докажем в обратную сторону. Дано: МА = МВ = МС. Доказать: Доказательство. Пусть МО – перпендикуляр к плоскости АВС (рис. 4). Треугольники МОА, МОВ, МОС равны по катету и гипотенузе (МА = МВ = МС, катет МО – общий). Значит, ОА = ОВ = ОС. То есть точка О – центр описанной окружности, ОМ – перпендикуляр р. Примечание: Из равенства треугольников МОА, МОВ, МОС следует равенство углов∠МОА = ∠МОВ = ∠МОС. То есть прямые МА, МВ, МС образуют с плоскостью АВС равные углы. 7. Свойство серединного перпендикуляра Дан отрезок АВ (рис. 5). Точка О – середина отрезка АВ. р – перпендикуляр к прямой АВ, проходящий через точку О. Если точка М лежит на серединном перпендикуляре, то точка М равноудалена от концов отрезка АВ, то есть МА = МВ. Если точка N равноудалена от концов отрезка АВ, то она лежит на серединном перпендикуляре р.   Рис. 5 8. Задача 4 Прямая а пересекает плоскость α в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку М проходит прямая, перпендикулярная к прямой а, и притом только одна. Дано: МА = а – наклонная к α. Доказать: 1) существует  2) b – единственная.  Рис. 6 Доказательство: Проведем прямую АН, перпендикулярно плоскости α. Тогда МН – проекция наклонной АН на плоскость α. Через точку М в плоскости α проведем прямую b, перпендикулярно прямой МН. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, прямая b перпендикулярна также прямой АМ. Прямая b – искомая. Докажем, что такая прямая единственная. Предположим, что существует прямая  , такая что  . Если прямая перпендикулярна наклонной АМ, то она перпендикулярна и проекции,  . Тогда через точку М проходит две прямые bи , перпендикулярные прямой МН, что невозможно. Значит, в плоскости α через точку М проходит единственная прямая, перпендикулярная к прямой а, что и требовалось доказать.9. Итоги урока Итак, мы рассмотрели простейшие задачи на теорему о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью. Следующий урок мы также посвятим решению задач на эти темы. |